Задача 109355

Темы:    [ Куб ] [ Скрещивающиеся прямые и ГМТ ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Прямая l , параллельная диагонали AC1 единичного куба ABCDA1B1C1D1 , равноудалена от прямых BD , A1D1 и CB1 . Найдите расстояния от прямой l до этих прямых.

Решение

Пусть при ортогональном проектировании данного куба ABCDA1B1C1D1 (рис.1) на плоскость, перпендикулярную его диагонали AC1 , прямая l перейдёт в точку K , а вершины B , C , D , A1 , B1 , и D1 – в точки B' , C' , D' , A1' , B1' и D1' соответственно. Прямая AC1 образует с прямыми C1C , C1B1 и C1D1 равные углы β , причём

sin β = = .
Значит, все рёбра куба образуют с плоскостью проекций углы 90^o - β , и B'C'D'D1'A1'B1' – правильный шестиугольник (рис.2) со стороной, равной
CC1· cos (90^o - β) = CC1 sin β = 1· = .
Расстояния от прямой l до прямых BD , A1D1 и CB1 соответственно равны расстояниям от точки K до ортогональных проекций этих прямых на рассматриваемую плоскость, т.е. до прямых B'D' , A1'D1' и C'B1' . Пусть прямые B'D' и A1'D1' пересекаются в точке P , прямые A1'D1' и C'B1' – в точке Q , прямые B'D' и C'B1' – в точке E . Так как прямая l равноудалена от прямых BD , A1D1 и CB1 , то точка K равноудалена от прямых B'D' , A1'D1' и C'B1' . Значит, K – либо центр вписанной, либо центр вневписанной окружности равнобедренного треугольника PQE , в котором PEQ = 120^o . Пусть O – центр правильного шестиугольника B'C'D'D1'A1'B1' , F – середина стороны A1'D1' . Тогда EF – высота треугольника PQE , причём
EF = OF + OE = + · = ,

QE = PE = 2EF = , PQ = QE = .
Если p – полупериметр треугольника PQE , S – его площадь, r – радиус вписанной окружности, а r1 , r2 и r3 – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон PQ , PE и QE соответственно, то
p = PE + PF = + = ,

S = PF· EF = · = ,

r = = = ,

r1 = = = ,

r2 = r3 = EF = .

Ответ

; ; ; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8414