ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109357
Темы:    [ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Четырехугольная пирамида ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основание четырёхугольной пирамиды PABCD – параллелограмм ABCD , M – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на BD . Известно, что BP = DP . Докажите, что расстояние от точки M до середины ребра AP равно половине ребра CP .

Решение

Пусть O – центр параллелограмма ABCD , K – середина ребра AP . При ортогональном проектировании пирамиды на плоскость основания вершина перейдёт в точку P' , равноудалённую от точек B и D , а точка K – в середину K' отрезка AP' . Так как OP' – серединный перпендикуляр к отрезку BD , то OP'|| AM . Средняя линия K'L прямоугольной трапеции AMOP' перпендикулярна боковой стороне OM , поэтому K'L – серединный перпендикуляр к отрезку OM . Значит, K'M = K'O , т.е. ортогональные проекции наклонных KM и KO на плоскость ABCD равны. Следовательно, KM = KO , а т.к. KO – средняя линия треугольника APC , то KM = KO = PC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8416

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .