ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109359
Темы:    [ Развертка помогает решить задачу ]
[ Равногранный тетраэдр ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если суммы плоских углов при трёх вершинах треугольной пирамиды равны по 180o , то все грани этой пирамиды – равные треугольники (т.е. тетраэдр является равногранным).

Решение

Пусть в треугольной пирамиде ABCD суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B и C равны по 180o (рис.1). Рассмотрим развёртку D1AD2CD3B пирамиды ABCD на плоскость треугольника ABC (рис.2), причём точки D1 , D2 и D3 – вершины треугольников с основаниями AB , AC и BC соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B и C тетраэдра ABCD равны по 180o , точка A лежит на отрезке D1D2 , точка B – на отрезке D1D3 , а точка C – на отрезке D2D3 , причём A , B и C – середины этих отрезков. Поэтому AB , BC и AC – средние линии треугольника D1D2D3 . Значит, треугольники D1AB , AD2C , BCD2 и CBA равны. Следовательно, равны и треугольники DAB , ADC , BCD и CBA , т.е. тетраэдр ABCD – равногранный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8418

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .