Задача 109361

Темы:    [ Развертка помогает решить задачу ] [ Равногранный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что если у тетраэдра равны два противоположных ребра, а суммы плоских углов при двух вершинах равны по 180^o , то все грани тетраэдра – равные треугольники.

Решение

Пусть в тетраэдре ABCD (рис.1) суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B равны по 180^o и AB = CD . Рассмотрим развёртку D1AD2CD3B пирамиды ABCD на плоскость треугольника ABC (рис.2), причём точки D1 , D2 и D3 – вершины треугольников с основаниями AB , AC и BC соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A и B тетраэдра ABCD равны по 180^o , точка A лежит на отрезке D1D2 , а точка B – на отрезке D1D3 , причём A и B – середины этих отрезков. Поэтому AB – средния линия треугольника D1D2D3 . Значит,

CD2 + CD3 = AB + AB = 2AB = D2D3,
что возможно лишь в случае, когда точка C лежит на отрезке D2D3 , причём C – середина D2D3 . Тогда AC и BC – также средние линии треугольника D1D2D3 . Значит, треугольники D1AB , AD2C , BCD2 и CBA равны. Следовательно, равны и треугольники DAB , ADC , BCD и CBA . Пусть в тетраэдре ABCD суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B равны по 180^o и AC = BD . Предположим, что точки C и D1 лежат по разные стороны от прямой D2D3 (рис.3). Возьмём середину K отрезка D2D3 . Тогда AK – средняя линия треугольника D1D2D3 , поэтому AK=BD1=AC , т.е. треугольник AKC – равнобедренный. Поскольку CD2=CD3 , треугольник D2CD3 – также равнобедренный, поэтому его медиана CK является высотой. Тогда AKC > D2KC = 90^o , что невозможно, т.к. AKC – угол при основании равнобедренного треугольника AKC . Пусть теперь точки C и D1 расположены по одну сторону от прямой D2D3 (рис.4). Продолжим KC до пересечения со стороной AB в точке M . Так как CK D2D3 и AB || D2D3 , то ACK>90^o как внешний угол прямоугольного треугольника AMC . Что также невозможно. Таким образом, точка C лежит на отрезке D2D3 , причём C – середина этого отрезка. Тогда AB , BC и AC – средние линии треугольника D1D2D3 . Значит, треугольники D1AB , AD2C , BCD2 и CBA равны. Следовательно, равны и треугольники DAB , ADC , BCD и CBA . Аналогично для случая, когда в тетраэдре ABCD суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B равны по 180^o и BC = AD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8420