Задача 109386

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой h и радиусом R описанной сферы.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса R , описанной около правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D (рис.1). Точка O лежит на прямой DM , где M – центр основания ABC . По условию задачи DM = h . Обозначим AB = BC = AC = a . Тогда AM = . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A , D и M (рис.2). Получим окружность радиуса R с центром O на прямой MD . Продолжим отрезок DM за точку M до пересечения с окружностью в точке P . Из прямоугольного треугольника APD находим, что

AM2 = DM· MP, или = h(2R - h),
откуда a2 = 3h(2R - h) . Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · h =

= · 3h(2R - h)· · h = h2(2R - h) .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8476