Задача 109387

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой h и радиусом r вписанной сферы.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса r , вписанной в правильную треугольную пирамиду ABCD с вершиной D (рис.1), K – середина BC . Точка O лежит на прямой DM , где M – центр основания ABC . По условию задачи DM = h . Обозначим AB = BC = AC = a , DKM = β . Тогда KM = . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки K , D и M (рис.2). Получим окружность радиуса r с центром O на прямой MD , касающуюся стороны KM угла DKM в точке M , а стороны KD – в некоторой точке P . Из прямоугольного треугольника DPO находим, что

cos β = cos POD = = .
Поэтому
tg β = = = .
Из прямоугольного треугольника DMK находим, что
= MK = = = ,
откуда a = . Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · h =

= · ()2· · h = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8477