Задача 109391

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a и радиусом R описанной сферы.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса R , описанной около правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P , M – центр основания ABCD (рис.1). Тогда точка O лежит на прямой PM . Обозначим PM = h . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A , C и P (рис.2). Получим равнобедренный треугольник APC , вписанный в окружность радиуса R с центром O . Продолжим отрезок PM за точку M до пересечения с окружностью в точке Q . Так как AM – высота прямоугольного треугольника PAQ , проведённая из вершины прямого угла, то

AM2 = PM· MQ, или = h(2R - h).
Из полученного уравнения находим, что
h = R .
Следовательно,
V_PABCD = S_ABCD· PM = a2· h = a2(R ).

Ответ

a2(R ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8481