ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109397
Темы:    [ Правильная пирамида ]
[ Сфера, вписанная в пирамиду ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой h и радиусом r вписанной сферы.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса r , вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду PABCD с вершиной P , K – середина BC . Точка O лежит на прямой PM , где M – центр основания ABCD . По условию задачи PM = h . Обозначим AB = BC = CD = AD = a , PKM = β . Тогда KM = . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки K , P и M . Получим окружность радиуса r с центром O на прямой MP , касающуюся стороны KM угла PKM в точке M , а стороны KP – в некоторой точке N . Из прямоугольного треугольника PNO находим, что

cos β = cos PON = = .

Поэтому
tg β = = = .

Из прямоугольного треугольника PMK находим, что
= MK = = = ,

откуда a = . Следовательно,
VPABCD = SABCD· PM = a2h = ()2h = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8487

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .