Задача 109397

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой h и радиусом r вписанной сферы.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса r , вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду PABCD с вершиной P , K – середина BC . Точка O лежит на прямой PM , где M – центр основания ABCD . По условию задачи PM = h . Обозначим AB = BC = CD = AD = a , PKM = β . Тогда KM = . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки K , P и M . Получим окружность радиуса r с центром O на прямой MP , касающуюся стороны KM угла PKM в точке M , а стороны KP – в некоторой точке N . Из прямоугольного треугольника PNO находим, что

cos β = cos PON = = .
Поэтому
tg β = = = .
Из прямоугольного треугольника PMK находим, что
= MK = = = ,
откуда a = . Следовательно,
V_PABCD = S_ABCD· PM = a2h = ()2h = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8487