ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109402
Темы:    [ Правильная пирамида ]
[ Сфера, вписанная в пирамиду ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и радиусом r вписанной сферы.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса r , вписанной в правильную шестиугольную пирамиду PABCDEF с вершиной P (рис.1), K – середина BC . Точка O лежит на прямой PM , где M – центр основания ABCDEF . Обозначим PM = h , PKM = β . Тогда KM = . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки P , K и M (рис.2). Получим окружность радиуса r с центром O на прямой PM , касающуюся стороны KM угла PKM в точке M , а стороны PK – в некоторой точке N . Из прямоугольного треугольника PNO находим, что

tg = tg MKO = = = .

Поэтому
tg PKM = tg β = = = .

Из прямоугольного треугольника PMK находим, что
h = PM = KM tg PKM = · = .

Следовательно,
VPABCDEF = SABCDEF· PM = · · h=


= · · = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8492

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .