Задача 109414

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b и углом β боковой грани с плоскостью основания.

Решение

Пусть K – середина стороны BC основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD , M – центр основания ABC . По условию задачи DKM = β . Обозначим AB = BC = AC = a . Из прямоугольных треугольников BKD и DMK находим, что

DK = = ,

= KM = DK cos DKM = · cos β.
Из полученного уравнения находим
a = .
Из прямоугольного треугольника DMK находим, что
DM = MK tg DKM = · tg β.
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · · tg β =

= = ()3· = .

Ответ

= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8504