Задача 109419

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой, h и углом γ между боковыми гранями.

Решение

Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из вершины B основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD на боковое ребро AD , M – центр основания ABC , K – середина стороны BC основания. Так как прямая AK – ортогональная проекция наклонной AD на плоскость основания и AK BC , то по теореме о трёх перпендикулярах AD BC . Значит, прямая AD перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и BF плоскости BFC . Поэтому AD – перпендикуляр к плоскости BFC , а BFC – линейный угол двугранного угла между боковыми гранями ABD и ACD . По условию задачи BFC = γ . Обозначим AB = BC = AC = a . Из прямоугольного треугольника BKF находим, что

KF = BK· ctg BFK = · ctg = .
Из прямоугольного треугольника AMD находим, что
AD = = .
Так как DM и KF – высоты треугольника ADK , то
AK· DM = AD· KF, или a· h = · .
Из полученного уравнения находим, что
a2 = = 3h2(3 tg2 - 1).
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · h = · 3h3(3 tg2 - 1) =

=.

Ответ

= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8509