|
|
 |
Условие
Найдите все нечётные натуральные числа, большие 500, но меньшие 1000, у каждого из которых сумма последних цифр всех делителей (включая 1 и само число) равна 33.
Решение
У нечётного числа все делители – нечётные. Так как сумма их последних цифр нечётна, то делителей должно быть нечётное количество. Если число имеет нечетное количество делителей, то оно является квадратом натурального числа (см. задачу 30365). Рассмотрим все квадраты нечётных чисел, лежащие в указанном промежутке: 23², 25² = 625, 27² = 729, 29², 31². Заметим, что у искомого числа должно быть не менее пяти делителей, иначе сумма их последних цифр не больше 27. Это означает, что из дальнейшего перебора можно исключить квадраты простых чисел 23, 29 и 31, которые имеют ровно три делителя. Тогда остается проверить два числа. Делители числа 625: 1, 5, 25, 125, 625; сумма их последних цифр равна 21. Делители числа 729: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729; сумма их последних цифр равна 33.
Ответ
729.
