Задача 30365

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Количество и сумма делителей числа ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Условие

Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.

Подсказка

Если d – делитель числа n, то ⁿ/_d  – также делитель.

Решение

Если d – делитель числа n, то ⁿ/_d  – также делитель. Таким образом, все делители числа делятся на пары. Если число имеет нечётное число делителей, то делители какой-то пары совпадают. Тогда  d = ⁿ/_d,  откуда  n = d²,  то есть число n – квадрат целого числа.

Замечания

Из решения ясно, что нечётное число делителей имеют точные квадраты и только они.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Делимость и остатки
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	008