Задача 109451

Темы:    [ Медиана делит площадь пополам ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Сторону АВ треугольника АВС продолжили за вершину В и выбрали на луче АВ точку А₁ так, что точка В – середина отрезка АА₁ . Сторону ВС продолжили за вершину С и отметили на продолжении точку В₁ так, что С – середина ВВ₁ . Аналогично, продолжили сторону СА за вершину А и отметили на продолжении точку С₁ так, что А – середина СС₁ . Найдите площадь треугольника А₁В₁С₁ , если площадь треугольника АВС равна1.

Решение

Проведем отрезки В₁A , C₁B и A₁C (см. рис. 10.2). Они являются медианами треугольников CB₁C₁ , AC₁A₁ и BA₁B₁ соответственно. Воспользуемся тем, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. Поэтому площади треугольников CB₁A и C₁B₁A равны. Кроме того, так как AC – медиана треугольника BAB₁ , то равны площади треугольников CB₁A и ABC . То есть, площадь треугольника CB₁C₁ в два раза больше площади треугольника ABC и равна 2. Аналогичными рассуждениями получим, что площадь каждого из треугольников AC₁A₁ и BA₁B₁ также равна 2. Следовательно, площадь треугольника A₁B₁C₁ равна 7.

Ответ

7.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2007
класс
Класс	10
задача
Номер	2