Задача 109459
|
|
 |
Условие
В выпуклом четырехугольнике ABCD выполняются равенства: ∠CBD = ∠CAB и ∠ACD = ∠ADB.
Докажите, что из отрезков BC, AD и AC можно сложить прямоугольный треугольник.
Решение
Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Треугольники ABC и BOC подобны по двум углам. Следовательно,
BC : OC = AC : BC, откуда BC² = AC·OC. Аналогично AD² = AC·AO и BC² + AD² = AC·OC + AC·AO = AC². Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, из отрезков BC, AD и AC можно сложить прямоугольный треугольник.
