ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109459
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырехугольнике ABCD выполняются равенства:  ∠CBD = ∠CAB  и  ∠ACD = ∠ADB.
Докажите, что из отрезков BC, AD и AC можно сложить прямоугольный треугольник.


Решение

Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Треугольники ABC и BOC подобны по двум углам. Следовательно,
BC : OC = AC : BC,  откуда  BC² = AC·OC.  Аналогично  AD² = AC·AO и  BC² + AD² = AC·OC + AC·AO = AC².  Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, из отрезков BC, AD и AC можно сложить прямоугольный треугольник.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2007
класс
Класс 9
задача
Номер 4
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4684

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .