Задача 109463

Тема:    [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Условие

Числа a, b и c отличны от нуля и выполняются равенства:  a + ^b/_c = b + ^c/_a = c + ^a/_b = 1.  Докажите, что  ab + bc + ca = 0.

Решение

Умножив обе части равенства  a + ^b/_c = 1  на c, получим  ac + b = c,  откуда  ac = c – b.  Аналогично  ba = a – c  и  cb = b – a.  Значит,
ab + bc + ca = (a – c) + (b – a) + (c – b) = 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2007
класс
Класс	8
задача
Номер	2