ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109464
Темы:    [ Средняя линия трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Середину более длинной боковой стороны прямоугольной трапеции соединили с вершинами трапеции. При этом трапеция разделилась на три равнобедренных треугольника. Найдите величину острого угла трапеции.


Решение

  Пусть ABCD – данная трапеция, AD и BC – ее основания  (AD > BC),  ABAD.  Тогда  CD > AB  (см. рис.). Пусть M – середина CD, а MN – средняя линия трапеции. Тогда  MNAB,  поэтому в треугольнике AMB высота совпадает с медианой, следовательно,  AM = MB.  Пусть  ∠MBC = α.  Так как треугольник BCM – равнобедренный, а угол BCM – тупой, то  BC = CM = MD.  Поскольку треугольник AMD – равнобедренный и  AD > BC,  то  AD = AM.
  ∠MAD = 90° – ∠MAB = 90° – ∠MBA = α, ∠BCM = 180° – 2α, ∠ADM = 90° – α/2.  Так как  ∠BCM + ∠ADM = 180°,  то  180° – 2α + 90° – α/2 = 180°,  откуда
α = 36°,  а  ∠ADC = 72°.


Ответ

72°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2007
класс
Класс 8
задача
Номер 3
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4682

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .