Задача 109484

Темы:    [ Смешанные уравнения и системы уравнений ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Показательные уравнения ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Алексеев В.Б.

Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений  4^x – 4^–x = 2 cos ax,  4^x + 4^–x = 2 cos ax + 4  равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?

Решение

  Преобразуем второе уравнение:
4^x + 4^–x = 2 cos ax + 4   ⇔   4^x – 2 + 4^–x = 2(1 + cos ax) ⇔ (2^x – 2^–x)² = 4cos^{2 ax}/₂)   ⇔

  Оба уравнения этой совокупности сводятся к первому уравнению из условия задачи заменами  x = 2y  и  x = – 2z  соответственно. Поэтому каждое из этих двух уравнений имеет 2007 корней. Если эти уравнения имеют общий корень  x = x₀,  то  4^x₀/2 – 4^–x₀/2 = 0  и  cos ^ax₀/₂ = 0,  что невозможно. Следовательно, эти уравнения не имеют общих корней, а второе уравнение из условия имеет  2·2007 = 4014  корней.

Ответ

4014.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	70
Год	2007
вариант
Класс	11
задача
Номер	2