|
|
 |
Условие
Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.
Решение
Пусть N = p1p2... pk (k ≥ 2) – произведение нескольких различных простых чисел p1 < p2 < ... < pk, удовлетворяющее условию задачи. Поскольку по
условию N кратно чётному числу p2 – 1, оно само чётно и p1 = 2. Число N = p1p2...pk имеет единственный делитель p1 из интервала (1, p2), но p2 – 1 также принадлежит этому интервалу, значит, p2 – 1 = p1 = 2. Таким образом, p2 = 3, а N может принимать значение 2·3 = 6.
Если k ≥ 3, то по условию число p3 – 1, принадлежащее интервалу (p2, p3), является делителем числа N. Этому интервалу может принадлежать единственный делитель N – число p1p2 = 6. Следовательно,
p3 = p1p2 + 1 = 7. Число 2·3·7 = 42 удовлетворяет условию задачи.
Если k ≥ 4, то по условию чётное число p4 – 1, принадлежащее интервалу (p3, p4), также является делителем N. Из чётных делителей числа N этому интервалу могут принадлежать лишь числа
p1p3 = 14 и p1p2p3 = 42. Число 15 = p1p3 + 1 является составным, значит, p4 = p1p2
p3 + 1 = 43. Число 2·3·7·43 = 1806 удовлетворяет условию задачи.
Если k ≥ 5, то по условию чётное число p5 – 1, принадлежащее интервалу (p4, p5), также должно являться делителем N. Из чётных делителей числа N этому интервалу могут принадлежать лишь числа p1p4 = 86, p1p2p4 = 258, p1p3p4 = 602 и p1p3p3p4 = 1806. Каждое из чисел 87, 259, 603, 1807 является составным. Значит, у числа N не может быть более четырёх различных простых делителей.
