Задача 109491
|
|
 |
Условие
Существуют ли такие натуральные числа x и y, что x² + x + 1 является натуральной степенью y, а y² + y + 1 – натуральной степенью x?
Решение
Если x = y, то x² + x + 1 = xn. В этом случае правая, а значит, и левая часть делится на x. Это возможно только при x = 1. Но тогда 3 = 1. Противоречие.
Если x ≠ y, то без ограничения общности можно считать, что x > y. Тогда x² ≥ (y + 1)² > y² + y + 1, значит, y² + y + 1 = x. Итак,
(y² + y + 1)² + (y² + y + 1) + 1 = yn. Раскрыв скобки, получим y4 + 2y³ + 4y² + 3y + 3 = yn. Значит, 3 делится на y. Но ни 1, ни 3 не подходят.
Ответ
Не существуют.
