|
|
 |
Условие
Выпуклая фигура F обладает следующим свойством: любой правильный треугольник со стороной 1 можно параллельно перенести так, что все его вершины попадут на границу F. Обязательно ли F – круг?
Решение
Простейшие контрпримеры: 1) полукруг радиуса 1; 2) линза, ограниченная двумя дугами по 120° радиуса 1.
Для проверки достаточно какой-нибудь треугольник со сторонами длины 1 повернуть на 120°, скользя вершинами по границе фигуры.
В полукруге поместим одну из вершин в центр и будем вращать вокруг неё.
В "линзе" треугольник сперва поворачиваем на 60° вокруг середины одной дуги, затем ещё на на 60° вокруг середины другой дуги.
Ответ
Не обязательно.
Замечания
1. 5 баллов.
2. Пример с "линзой" взят из книги И.М. Яглома и В. Г. Болтянского "Выпуклые фигуры", Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1951. Он обладает дополнительным свойством: треугольник можно повернуть (в несколько приемов) на любое число градусов.
