ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109501
Темы:    [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано натуральное число $N$. Для того чтобы найти целое число, ближайшее к $\sqrt{N}$, воспользуемся следующим способом: найдём среди квадратов натуральных чисел число $a^2$, ближайшее к числу $N$; тогда $a$ и будет искомым числом. Обязательно ли этот способ даст правильный ответ?


Решение

Пусть $m^2 \le N < (m + 1)^2 = m^2 + 2 m + 1.$ Мы выбираем $a = m$, если $N \le m^2 + m$, и $a = m + 1$ в противном случае. В первом случае $N < (m + \frac{1}{2})^2 = m^2 + m + \frac{1}{4}$, то есть $m \le \sqrt{N} < m + \frac{1}{2}$, во втором случае $N \ge m^2 + m + 1 > (m + \frac{1}{2})^2$, то есть $m + 1 > \sqrt{N} > m + \frac{1}{2}$. В любом случае $a$ – ближайшее к $\sqrt{N}$ натуральное число.


Ответ

Обязательно.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 70
Год 2007
вариант
Класс 8
задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .