Задача 109508

Темы:    [ Перенос помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фельдман К.Э.

Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.

Решение

Параллельным переносом одного из двух данных треугольников совместим вершины C и C' их прямых углов, а гомотетией того же треугольника с центром в точке C совместим их медианы 112. Тогда окружность с центром E и радиусом CE описана около обоих треугольников, причем угол между их гипотенузами – центральный и, значит, вдвое больше соответствующего вписанного угла, каковым является один из углов между катетами (на 112 это углы: AEA'=2 ACA' ). Для доказательства требуемого утверждения остается заметить, что проделанные выше преобразования одного из треугольников не меняют углов между прямыми.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	5
класс
Класс	11
задача
Номер	93.5.11.2