Условие
Назовем усреднением последовательности ak действительных чисел последовательность
a'k с общим членом a'k=
.
Рассмотрим последовательности: ak , a'k – ее усреднение, a''k –
усреднение последовательности a'k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых
чисел, то будем говорить, что последовательность ak – хорошая. Докажите, что если
последовательность xk – хорошая, то последовательность xk2 – тоже хорошая.
Решение
Назовем последовательность m -хорошей, если если она сама и первые ее m усреднений
состоят из целых чисел. Докажем, пользуясь методом математической индукции, что если
последовательность xk – хорошая, то последовательность xk2 – m -хорошая для
любого целого неотрицательного числа m . Из этого и вытекает утверждение задачи. Очевидно, что
если последовательность xk – хорошая, то последовательность xk2 – 0-хорошая.
Предположим, что последовательность xk2 – m -хорошая, и докажем, что она
(m+1) -хорошая. Это следует из тождества
=(
)2+
(-xk+1)2 ,
так как последовательности с общими членами и -xk+1
– хорошие, а поэтому, согласно индуктивному предположению, их квадраты – m -хорошие
последовательности, т.е. последовательность xk2 – (m+1) -хорошая.
#te
Нетривиальный пример хорошей последовательности дает арифметическая прогрессия с четной
разностью, состоящая из целых чисел, например: 1, 3, 5, 7,
#te Изменим определение усреднения последовательности на более общее:
a'k=
, p
. Известно доказательство аналогичного
утверждения (если xk – хорошая, то и xkp – хорошая) при p=3 . Интересно было бы
выяснить, при каких p оно справедливо. Гипотеза: только при простых p .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
1993 |
|
Этап |
|
Вариант |
5 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
93.5.10.8 |
