Задача 109520

Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Тамаркин Д.

Назовем усреднением последовательности a_k действительных чисел последовательность a'_k с общим членом a'_k= . Рассмотрим последовательности: a_k , a'_k – ее усреднение, a''_k – усреднение последовательности a'_k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность a_k – хорошая. Докажите, что если последовательность x_k – хорошая, то последовательность x_k² – тоже хорошая.

Решение

Назовем последовательность m -хорошей, если если она сама и первые ее m усреднений состоят из целых чисел. Докажем, пользуясь методом математической индукции, что если последовательность x_k – хорошая, то последовательность x_k² – m -хорошая для любого целого неотрицательного числа m . Из этого и вытекает утверждение задачи. Очевидно, что если последовательность x_k – хорошая, то последовательность x_k² – 0-хорошая. Предположим, что последовательность x_k² – m -хорошая, и докажем, что она (m+1) -хорошая. Это следует из тождества =()²+ (-x_k+1)² , так как последовательности с общими членами и -x_k+1 – хорошие, а поэтому, согласно индуктивному предположению, их квадраты – m -хорошие последовательности, т.е. последовательность x_k² – (m+1) -хорошая. #te Нетривиальный пример хорошей последовательности дает арифметическая прогрессия с четной разностью, состоящая из целых чисел, например: 1, 3, 5, 7, #te Изменим определение усреднения последовательности на более общее: a'_k= , p . Известно доказательство аналогичного утверждения (если x_k – хорошая, то и x_k^p – хорошая) при p=3 . Интересно было бы выяснить, при каких p оно справедливо. Гипотеза: только при простых p .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	93.5.10.8