Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости нарисованы две окружности (см. рис.). Существует ли некоторая точка, лежащая вне каждой из этих окружностей, для которой любая прямая, проходящая через неё, пересекает хотя бы одну из окружностей?

   Решение

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Натуральное число n таково, что числа  2n + 1  и  3n + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5n + 3  быть простым?

Решение

  Если  2n + 1 = k²,  3n + 1 = m²,  то  5n + 3 = 4(2n + 1) – (3n + 1) = 4k² – m² = (2k + m)(2k – m).
  Докажем, что  2k – m ≠ 1.  Действительно, в противном случае  5n + 3 = 2m + 1  и   (m – 1)² = m² – (2m + 1) + 2 = (3n + 1) – (5n + 3) + 2 = – 2n < 0,  что невозможно).

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования