Задача 109540

Темы:    [ Иррациональные неравенства ] [ Индукция (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Жуховицкий В.

Докажите, что  

Решение

  Согласно неравенству Бернулли (см. задачу 30899)  2^n–1 = 2·(1 + 1)^n–2 ≥ 2(1 + n – 2) ≥ n + 1  при  n ≥ 3.
  Отсюда следует, что     при  n ≥ 3.
  Заметим, что  2¹⁹⁹³ > 1993,  откуда следует, что     Теперь последовательно получаем:

     

Замечания

Неравенство  2^n–1 ≥ n + 1  можно доказать и по индукции.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	93.4.10.6