|
|
 |
Условие
Докажите, что уравнение x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1) не имеет решений в целых числах.
Решение 1
Перепишем уравнение в виде (x + y)³ = 7(x²y + xy²) + 4. Так как куб целого числа не может давать остаток 4 при делении на 7, то уравнение не имеет решений в целых числах.
Решение 2
Очевидно, x и y одной чётности. Если они чётны, то левая часть делится на 8, а правая – нет. Следовательно, x и y нечётны. Так как квадрат нечётного числа даёт остаток 1 при делении на 8, то x³ + y³ ≡ x + y ≡ xy² + x²y (mod 8), и из уравнения получаем 3(x + y) ≡ 4 (mod 8). Значит, x + y делится на 4. С другой стороны, (x + y)(x² – 5xy + y²) = 4, значит, x + y = ±4. Подставляя это значение в выражение x² – 5xy + y² = (x + y)² – 7xy, получаем уравнения 16 – 7xy = ±1, не имеющие решений в целых числах.
