ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109547
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Калинин А.

Докажите, что уравнение  x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1)  не имеет решений в целых числах.


Решение 1

Перепишем уравнение в виде  (x + y)³ = 7(x²y + xy²) + 4. Так как куб целого числа не может давать остаток 4 при делении на 7, то уравнение не имеет решений в целых числах.


Решение 2

Очевидно, x и y одной чётности. Если они чётны, то левая часть делится на 8, а правая – нет. Следовательно, x и y нечётны. Так как квадрат нечётного числа даёт остаток 1 при делении на 8, то  x³ + y³ ≡ x + yxy² + x²y (mod 8),  и из уравнения получаем  3(x + y) ≡ 4 (mod 8).  Значит,  x + y  делится на 4. С другой стороны,  (x + y)(x² – 5xy + y²) = 4,  значит,  x + y = ±4.  Подставляя это значение в выражение  x² – 5xy + y² = (x + y)² – 7xy,  получаем уравнения  16 – 7xy = ±1,  не имеющие решений в целых числах.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 93.4.10.5
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 93.4.9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .