Задача 109561
|
|
 |
Условие
Докажите, что для натуральных чисел k, m и n справедливо неравенство [k, m][m, n][n, k] ≥ [k, m, n]².
Решение
Сравним степени, в которых данное простое число p входит в левую и правую части доказываемого неравенства. Пусть p входит в разложение числа k на простые множители в степени α, в разложение числа m – в степени β и в разложение числа n – в степени γ. Без ограничения общности можно считать, что α ≤ β ≤ γ. Тогда в правую часть p входит в степени 2γ, а в левую – в степени β + 2γ, откуда и следует требуемое неравенство.
