ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109561
Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для натуральных чисел k, m и n справедливо неравенство   [k, m][m, n][n, k] ≥ [k, m, n]².


Решение

Сравним степени, в которых данное простое число p входит в левую и правую части доказываемого неравенства. Пусть p входит в разложение числа k на простые множители в степени α, в разложение числа m – в степени β и в разложение числа n – в степени γ. Без ограничения общности можно считать, что  α ≤ β ≤ γ.  Тогда в правую часть p входит в степени 2γ, а в левую – в степени  β + 2γ,  откуда и следует требуемое неравенство.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1994
Этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 94.5.10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .