Задача 109592
|
|
 |
Условие
Известно, что уравнение ax5 + bx4 + c = 0 имеет три различных корня. Докажите, что уравнение cx5 + bx + a = 0 также имеет три различных корня.
Решение
Число x = 0 не может быть корнем уравнения ax5 + bx4 + c = 0, так как иначе c = 0, и уравнение имеет не более двух различных корней, что противоречит условию. Разделив обе части этого уравнения на x5, получаем, что a + b/x + c/x5 = 0. Следовательно, если x1, x2 и x3 – различные корни уравнения ax5 + bx4 + c = 0, то 1/x1, 1/x2 и 1/x3 – различные корни уравнения cx5 + bx + a = 0.
