ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109598
Темы:    [ Необычные построения ]
[ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Признаки подобия ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(n) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии n (n – натуральное). ЛЦ(n) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность    неограничена.


Решение

  1) Если d – наибольшее из расстояний между отмеченными точками, то проведение одной линии циркулем позволяет получить отмеченную точку на расстоянии не более 2d от уже отмеченных. Отсюда следует, что  Ц(2n) ≥ n,  а значит,  Ц(22n) ≥ 2n.
  2) Пусть A и B – две данные отмеченные точки. Проведение пяти линий позволяет построить угол BAC, где  AC = 2  (рис. слева).

         
  Покажем, что проведение пяти линий позволяет построить отрезок длины m², если уже получен отрезок длины m (рис. справа).
  Последовательно строим окружности σ1, σ2, σ3, σ4 радиуса m с центрами в точках A, B, K – точке пересечения σ1 с AB, L – точке пересечения σ3 с AB и, наконец, прямую EM, где E – точка пересечения σ2 с AB, M – точка пересечения σ3 с σ4.
  Пусть F – точка пересечения EM с AC, а D – точка пересечения σ1 с σ3, лежащая на луче AC. Треугольники ADK и KML – равносторонние со сторонами
AD = KM = m,  ∠DAB = ∠MKE = 60°,  AB = KE = 1,  поэтому ∠DBA = ∠MEK,  следовательно,  EM || BD.  По теореме Фалеса  AB : AD = BE : DF,  откуда следует, что  DF = m².  Таким образом,  ЛЦ(2) ≤ 5,  ЛЦ(4) ≤ 2·5,  ЛЦ(22n ) ≤ 5(n + 1).
  3) Теперь утверждение задачи очевидно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 95.5.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .