|
|
 |
Условие
На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(n) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии n (n – натуральное). ЛЦ(n) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность неограничена.
Решение
1) Если d – наибольшее из расстояний между отмеченными точками, то проведение одной линии циркулем позволяет получить отмеченную точку на расстоянии не более 2d от уже отмеченных. Отсюда следует, что Ц(2n) ≥ n, а значит, Ц(22n) ≥ 2n.
2) Пусть A и B – две данные отмеченные точки. Проведение пяти линий позволяет построить угол BAC, где AC = 2 (рис. слева).
Последовательно строим окружности σ1, σ2, σ3, σ4 радиуса m с центрами в точках A, B, K – точке пересечения σ1 с AB, L – точке пересечения σ3 с AB и, наконец, прямую EM, где E – точка пересечения σ2 с AB, M – точка пересечения σ3 с σ4.
Пусть F – точка пересечения EM с AC, а D – точка пересечения σ1 с σ3, лежащая на луче AC. Треугольники ADK и KML – равносторонние со сторонами
AD = KM = m, ∠DAB = ∠MKE = 60°, AB = KE = 1, поэтому ∠DBA = ∠MEK, следовательно, EM || BD. По теореме Фалеса AB : AD = BE : DF, откуда следует, что DF = m². Таким образом, ЛЦ(2) ≤ 5, ЛЦ(4) ≤ 2·5, ЛЦ(22n ) ≤ 5(n + 1).
3) Теперь утверждение задачи очевидно.
