|
|
 |
Условие
Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.
Решение
Пусть n – число путников, обозначенных буквами P1, P2, ..., Pn. Рассмотрим величину Vij – скорость сближения Pi и Pj (для произвольных 1 ≤ i, j ≤ n; если i = j, то Vij = 0). Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной (путники удаляются друг от друга). Заметим, что в течение всего рассматриваемого периода времени Vij не возрастает (а уменьшиться может только один раз – в результате встречи Pi и Pj или обгона одного из них другим). По условию в конце рассмотренного периода времени
Поскольку Vij = Vji (для любых 1 ≤ i < j ≤ n), то Отсюда следует, что найдётся такой номер j, что
Так как все Vij не возрастали в течение всего периода времени, то и последнее неравенство выполнялось в течение всего периода времени, что и требовалось.
