ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109625
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых взаимно простых x и y и натуральном  k > 1,  выполняется равенство  3n = xk + yk.


Решение

  Ясно, что ни одно из чисел x, y не кратно 3. Пусть  x > y.
  Если k чётно, то xk и yk при делении на 3 дают в остатке 1, а значит, их сумма не является степенью тройки.
  Пусть k нечётно.  Тогда согласно задаче 109633 k – степень тройки. После соответствующей замены переменных получим  3n = u³ + v³.
  Имеем  (u + v)(u² – uv + vk) = 3n,  u + v = 3m.
  Если  u + v = 3,  то  u = 2,  v = 1  (или наоборот), что даёт решение  n = 2.
  Пусть  u + v ≥ 9.  Тогда  u² – uv + v² ≥ ¼ (u + v)² > u + v  (достаточно раскрыть скобки). Значит,  u² – uv + v²  делится на  u + v  (так как оба числа – степени тройки). Следовательно,  3uv = (u + v)² – (u² – uv + v²)  делится на  u + v.  Но u, v не кратны 3, поэтому 3uv не делится на 9. Противоречие.


Ответ

n = 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 96.5.10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .