ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109626
Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ Неравенства. Метод интервалов ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Мусин О.

Докажите, что если числа a1, a2, ..., am  отличны от нуля и для любого целого  k = 0, 1, ..., n  (n < m – 1)  выполняется равенство:
a1 + a2·2k + a3·3k + ... + ammk = 0,  то в последовательности a1, a2, ..., am  есть по крайней мере  n + 1  пара соседних чисел, имеющих разные знаки.


Решение

  Пусть P(x) – произвольный многочлен степени не выше n. Тогда из условия следует, что  a1P(1) + a2P(2) + ... + amP(m) = 0.    (*)
  Предположим, что последовательность a1, a2, ..., am имеет ровно  k ≤ n  пар соседних чисел, имеющих противоположные знаки, и i1, i2, ..., ik – индексы первых элементов в этих парах  (1 ≤ i1 < i2 < ... < ik < m).  Возьмём  P(x) = (x – i1 – ½)(x – i2 – ½)...(x – ik – ½).  Тогда в последовательностях a1, a2, ..., am и P(1), P(2), ..., P(m) перемены знака происходят в одних и тех же местах. Таким образом, слева в равенстве (*) стоит сумма m чисел одного знака. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1996
выпуск
Номер 5
Задача
Номер М1563
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 96.5.10.4
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 96.5.11.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .