Задача 109626

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Многочлены (прочее) ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Мусин О.

Докажите, что если числа a₁, a₂, ..., a_m  отличны от нуля и для любого целого  k = 0, 1, ..., n  (n < m – 1)  выполняется равенство:
a₁ + a₂·2^k + a₃·3^k + ... + a_mm^k = 0,  то в последовательности a₁, a₂, ..., a_m  есть по крайней мере  n + 1  пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

Решение

  Пусть P(x) – произвольный многочлен степени не выше n. Тогда из условия следует, что  a₁P(1) + a₂P(2) + ... + a_mP(m) = 0.    (*)
  Предположим, что последовательность a₁, a₂, ..., a_m имеет ровно  k ≤ n  пар соседних чисел, имеющих противоположные знаки, и i₁, i₂, ..., i_k – индексы первых элементов в этих парах  (1 ≤ i₁ < i₂ < ... < i_k < m).  Возьмём  P(x) = (x – i₁ – ½)(x – i₂ – ½)...(x – i_k – ½).  Тогда в последовательностях a₁, a₂, ..., a_m и P(1), P(2), ..., P(m) перемены знака происходят в одних и тех же местах. Таким образом, слева в равенстве (*) стоит сумма m чисел одного знака. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1996
выпуск
Номер	5
Задача
Номер	М1563
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1996
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	96.5.10.4
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1996
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	96.5.11.4