|
|
 |
Условие
Даны многоугольник, прямая l и точка P на прямой l в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают l в различных точках, отличных от P). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают l по разные стороны от точки P. Докажите, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от l отмечено нечётное число вершин.
Решение
Для каждой из вершин многоугольника, лежащих по одну сторону от l, отметим отрезок, высекаемый на l прямыми, на которых лежат выходящие из неё стороны. Надо доказать, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда она принадлежит нечётному числу отмеченных отрезков. Но каждая из точек пересечения l со сторонами многоугольника будет концом ровно одного из отмеченных отрезков, а каждая из точек пересечения l с продолжением стороны многоугольника (лежащей по нужную сторону от l) – концом ровно двух отмеченных отрезков. Следовательно, при движении точки P по прямой l чётность количества содержащих её отмеченных отрезков изменяется при каждом пересечении границы многоугольника. Осталось заметить, что, когда P расположена так, что все точки пересечения прямых с l находятся по одну сторону от неё, количество покрывающих её отрезков равно нулю, и она лежит вне многоугольника. Отсюда и следует утверждение задачи.
