ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109647
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Композиции поворотов ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Решение 1

  Пусть N1 – точка, симметричная точке N относительно K (см. рис.). Тогда треугольники KCN1 и KDN равны, поэтому
CN1 = ND  и  ∠N1CK = ∠NDK = 180° – ∠ABN.
  Заметим еще, что  ∠MCK = 180° – ∠ABM.  Складывая полученные равенства, находим, что  ∠N1CM = ∠MBN.  Кроме того, из условия следует, что
CM = MB  и  BN = ND  (то есть и  BN = CN1).  Значит, треугольники MCN1 и MBN равны, откуда  MN1 = MN.  Отрезок MK – медиана равнобедренного треугольника MNN1, поэтому ∠MKN = 90°.


Решение 2

  Рассмотрим композицию RMRN поворота RN на угол  α = ∠DNB  и поворота RM на угол  β = ∠BMC  (углы предполагаются ориентированными). Заметим, что  α + β = ±180°,  поэтому  ZX = RMRN  – центральная симметрия относительно некоторой точки X. Но  ZX(D) = (RMRN)(D) = RM(B) = C,  поэтому X – середина отрезка CD, то есть совпадает с точкой K. Если  N1 = ZK(N),  то  N1 = (RMRN)(N) = RM(N),  то есть треугольник NMN1 – равнобедренный и  ∠MKN = 90°.

Замечания

1. Решение 2 позволяет отказаться от условия, что точки C и D лежат по разные стороны от A, которое было дано лишь затем, чтобы избежать разбора различных случаев.

2. Задача имеет много других решений. Например, можно воспользоваться подобием треугольников MEK и KFN, где E и F – середины отрезков BC и BD соответственно. Эти треугольники имеют две пары взаимно перпендикулярных сторон: EK и FN, ME и KF; следовательно, перпендикулярны и их третьи стороны.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1997
выпуск
Номер 5
Задача
Номер М1611
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1997
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 97.5.10.3
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1997
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 97.5.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .