Задача 109647

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Композиции поворотов ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Терешин Д.А.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Решение 1

  Пусть N₁ – точка, симметричная точке N относительно K (см. рис.). Тогда треугольники KCN₁ и KDN равны, поэтому
CN₁ = ND  и  ∠N₁CK = ∠NDK = 180° – ∠ABN.
  Заметим еще, что  ∠MCK = 180° – ∠ABM.  Складывая полученные равенства, находим, что  ∠N₁CM = ∠MBN.  Кроме того, из условия следует, что
CM = MB  и  BN = ND  (то есть и  BN = CN₁).  Значит, треугольники MCN₁ и MBN равны, откуда  MN₁ = MN.  Отрезок MK – медиана равнобедренного треугольника MNN₁, поэтому ∠MKN = 90°.

Решение 2

  Рассмотрим композицию R_M○R_N поворота R_N на угол  α = ∠DNB  и поворота R_M на угол  β = ∠BMC  (углы предполагаются ориентированными). Заметим, что  α + β = ±180°,  поэтому  Z_X = R_M○R_N  – центральная симметрия относительно некоторой точки X. Но  Z_X(D) = (R_M○R_N)(D) = R_M(B) = C,  поэтому X – середина отрезка CD, то есть совпадает с точкой K. Если  N₁ = Z_K(N),  то  N₁ = (R_M○R_N)(N) = R_M(N),  то есть треугольник NMN₁ – равнобедренный и  ∠MKN = 90°.

Замечания

1. Решение 2 позволяет отказаться от условия, что точки C и D лежат по разные стороны от A, которое было дано лишь затем, чтобы избежать разбора различных случаев.

2. Задача имеет много других решений. Например, можно воспользоваться подобием треугольников MEK и KFN, где E и F – середины отрезков BC и BD соответственно. Эти треугольники имеют две пары взаимно перпендикулярных сторон: EK и FN, ME и KF; следовательно, перпендикулярны и их третьи стороны.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1997
выпуск
Номер	5
Задача
Номер	М1611
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1997
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	97.5.10.3
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1997
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	97.5.11.3