ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109654
Темы:    [ Поворот на 90╟ ]
[ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храбров А.

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .

Решение

Пусть O – центр поворота, R – наибольшее из расстояний от точки O до вершин многоугольника, A1 – одна из вершин, такая, что OA1=R . Если A1 переходит при повороте в вершину A2 , A2 – в A3 , A3 – в A4 , то, очевидно, A1A2A3A4 – квадрат с центром в точке O ; этот квадрат, очекидно, лежит в M . Отношение радиусов его вписанного и описанного кругов равно , при этом первый лежит в M , а второй содержит M по определению R , что и требовалось.
Справедливо следующее утверждение: если выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол α ( α<180o ), то найдутся два круга с отношением радиусов, равным 2, один из которых содержит M , а другой содержится в M . Попробуйте доказать его самостоятельно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1997
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 97.5.9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .