Задача 109658
|
|
 |
Условие
В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.Решение
Объединим учеников в группы по фамилиям и в группы по именам (возможны группы, состоящие из одного человека – например, ученик без однофамильцев). Каждый войдет в две группы – по фамилии и по имени. Из условия задачи следует, что в классе ровно одиннадцать групп. Действительно, есть группы, состоящие из 1, 2, 11 человек, поэтому групп не меньше одиннадцати, но 1+2+...+11=66=2· 33 , т.е. мы уже сосчитали каждого ученика дважды, значит, больше групп нет.Рассмотрим группу из одиннадцати человек (скажем, однофамильцев). Остальных групп, и, в частности, групп тезок, не более десяти. Поэтому какие-то двое из одиннадцати входят в одну группу тезок, т.е. у них одинаковы и имя, и фамилия.
