|
|
 |
Условие
В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько
у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников).
Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10
включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем
и фамилией.
Решение
Объединим учеников в группы по фамилиям и в группы по именам
(возможны группы, состоящие из одного человека – например, ученик
без однофамильцев). Каждый войдет в две группы – по фамилии и по
имени. Из условия задачи следует, что в классе ровно одиннадцать
групп. Действительно, есть группы, состоящие из 1, 2, 11
человек, поэтому групп не меньше одиннадцати, но
1+2+...+11=66=2· 33 , т.е. мы уже сосчитали каждого ученика
дважды, значит, больше групп нет.
Рассмотрим группу из одиннадцати человек (скажем, однофамильцев).
Остальных групп, и, в частности, групп тезок, не более десяти.
Поэтому какие-то двое из одиннадцати входят в одну группу тезок,
т.е. у них одинаковы и имя, и фамилия.
