ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109661
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 – середины дуг BAC, CBA, ACB описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке.


Решение 1

  Случай правильного треугольника ABC очевиден. Пусть  AB ≠ AC  (см. рис.).
  Обозначим через O, I центры описанной и вписанной окружностей. Тогда  IA1BC  и  OA2BC.  Следовательно,  OA2 || IA1  и OA2IA1 – трапеция.
  Точка P пересечения диагоналей этой трапеции делит OI в отношении  OP : PI = OA2 : IA1 = R : r,  где R, r – радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей. Проведя аналогичные рассуждения для трапеций OB2IB1, OC2IC1 (если треугольник ABC – равнобедренный, то одна из них вырождается в отрезок) получаем, что отрезки A1A2, B1B2, C1C2 делят OI в отношении  R : r  и проходят через одну точку P.


Решение 2

  Касательная lA в точке A2 к описанной окружности параллельна BC. Рассмотрев касательные lB, lC в точках B2, C2, аналогично получим:  lB || AC,  lC || AB.   Поэтому треугольник ABC гомотетичен треугольнику, образованному прямыми lA, lB, lC. При этой гомотетии A1 переходит в A2, B1 – в B2, C1 – в C2. Следовательно, прямые A1A2, B1B2, C1C2 пересекутся в центре гомотетии.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 98.5.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .