ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109662
Темы:    [ Свойства параллельного переноса ]
[ Метод ГМТ ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости нарисовано некоторое семейство S правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства S содержит хотя бы одну из них.

Решение

Пусть ABC – один из треугольников семейства S . Его высоту примем за единицу. Так как треугольники из S попарно пересекаются, то они лежат в некоторой полосе ширины 2, параллельной стороне AB . Аналогично, взяв полосы, параллельные BC и CA , рассмотрим их пересечение– это будет шестиугольник H с углами по 120o и расстояниями между противоположными сторонами, равными 2. У такого шестиугольника длины сторон чередуются, обозначим их a и b (см. рис. 1) .
Пусть вначале a b , тогда все треугольники из S содержат центр фигуры H (см. рис. 1) .

                     

Рис. 1                  Рис. 2                  Рис. 3

Если же a>b , то рассмотрим прямые lX , lY , lZ , параллельные сторонам шестиугольника и равноудаленные от них. В качестве искомых точек X , Y и Z возьмем середины отрезков, высекаемых сторонами на этих прямых (см. рис. 2) . Покажем, что любой треугольник T , T S , содержит какую-то точку из множества M={X,Y,Z} . Заметим, что T пересекает любую из прямых lX , lY и lZ (см. рис. 2) , так как иначе T лежит в полосе меньшей ширины, чем его высота. Предположим противное: T не содержит точек X , Y или Z , тогда без ограничения общности можно считать, что T пересекает lX выше и левее X , а lY – левее Y (см. рис. 3) . Так как TΔ XYZ , то легко видеть, что правая нижняя вершина T лежит в Δ XYZ , а значит, T не пересекает lZ – противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 98.5.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .