Задача 109662

Темы:    [ Свойства параллельного переноса ] [ Метод ГМТ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Дольников В.Л., Карасев Р.

На плоскости нарисовано некоторое семейство S правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства S содержит хотя бы одну из них.

Решение

Пусть ABC – один из треугольников семейства S . Его высоту примем за единицу. Так как треугольники из S попарно пересекаются, то они лежат в некоторой полосе ширины 2, параллельной стороне AB . Аналогично, взяв полосы, параллельные BC и CA , рассмотрим их пересечение– это будет шестиугольник H с углами по 120^o и расстояниями между противоположными сторонами, равными 2. У такого шестиугольника длины сторон чередуются, обозначим их a и b (см. рис. 1) .
Пусть вначале a b , тогда все треугольники из S содержат центр фигуры H (см. рис. 1) .

                     
Рис. 1                  Рис. 2                  Рис. 3
Если же a>b , то рассмотрим прямые l_X , l_Y , l_Z , параллельные сторонам шестиугольника и равноудаленные от них. В качестве искомых точек X , Y и Z возьмем середины отрезков, высекаемых сторонами на этих прямых (см. рис. 2) . Покажем, что любой треугольник T , T S , содержит какую-то точку из множества M={X,Y,Z} . Заметим, что T пересекает любую из прямых l_X , l_Y и l_Z (см. рис. 2) , так как иначе T лежит в полосе меньшей ширины, чем его высота. Предположим противное: T не содержит точек X , Y или Z , тогда без ограничения общности можно считать, что T пересекает l_X выше и левее X , а l_Y – левее Y (см. рис. 3) . Так как TΔ XYZ , то легко видеть, что правая нижняя вершина T лежит в Δ XYZ , а значит, T не пересекает l_Z – противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	98.5.11.3