Задача 109665
|
|
 |
Условие
Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?
Решение
Пусть набор N = {a1, ..., an} состоит из чисел, удовлетворяющих данному условию U. Тогда набор N1 = {b1, ..., bn, bn+1}, где b1 = a1, ..., bn = an,
bn+1 = 0 также удовлетворяет U. Прибавив к каждому bi число c = (b2 – b1)2(b3 – b1)2...(bn+1 – bn)2, получим набор N2, также удовлетворяющий U, так как
((bi + c) – (bj + c))² = (bi – bj)² и (bi + c)(bj + c) = bibj + c(bj + bj + c) – делится на (bi – bj)². Поэтому, взяв в качестве исходного набор N = {1, 2}, последовательным применением указанной выше процедуры мы получим набор N², состоящий из трёх, набор N4 – из четырёх, N2n–4 – из n чисел.
Ответ
Существует.
