ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109668
Темы:    [ Теорема Виета ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции  y = ax³ + bx² + cx + d:  первая – в точках A, D и E, вторая – в точках B, C и F (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проекций дуг AB и EF.


Решение

Из рисунка видно, что  a > 0.  Если  y = p  и  y = q  – уравнения заданных прямых, то абсциссы точек A, D и E – корни  x1 < x2 < x3  уравнения
ax³ + bx² + cx + d – p = 0,  а точек B, C и F – корни  X1 < X2 < X3  уравнения  aX³ + bX² + cX + d – q = 0.  По теореме Виета  x1 + x2 + x3 = X1 + X2 + X3.  Отсюда  x2X2 = (X1x1) + (X3x3),  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 98.5.10.1
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 98.5.11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .