Задача 109669

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Длины сторон (неравенства) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Дольников В.Л.

Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.

Решение

Обозначим через F₁ и F₂ данные многоугольники. Предположим, что они имеют общую внутреннюю точку. Возможны два случая. 1)Один многоугольник содержится внутри другого, скажем, F₁ лежит внутри F₂ . Пусть A – одна из вершин F₁ . Тогда, как легко видеть, найдутся три вершины P , Q , R многоугольника F₂ такие, что треугольник PQR содержит A (случай, когда A лежит на стороне треугольника PQR , легко приводит к противоречию). При этом хотя бы один из углов PAQ , QAR , RAP больше 90^o . Пусть, для определенности, PAQ^o . Тогда имеем: 1 PQ² AP²+AQ² . Получаем, что, вопреки условию, один из отрезков AP и AQ не больше – противоречие. 2)Сторона одного многоугольника пересекает сторону другого. Пусть, например, сторона AB многоугольника F₁ пересекает сторону PQ многоугольника F₂ . Пусть APBQ – выпуклый четырехугольник (случай, когда среди точек A , B , P , Q найдутся три, лежащие на одной прямой, легко рассматривается). Хотя бы один из его углов, скажем, PAQ , не меньше 90^o . Тогда 1 PQ² AP²+AQ² , следовательно, один из отрезков AP и AQ не больше . Получаем противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	98.5.10.2