Условие
Обозначим S(x) сумму цифр числа x . Найдутся ли три таких натуральных числа
a , b и c , что S(a+b)<5 , S(a+c)<5 и S(b+c)<5 ,
но S(a+b+c)>50 ?
Решение
Подойдут, например, числа a=5555554445 , b=5554445555 , c=4445555555 .
Убедимся в этом: S(a+b)=S(11110000000)<5 , S(a+c)=S(10001110000)<5 ,
S(b+c)=S(10000001110)<5 , S(a+b+c)=S(15555555555)=51>50 .
Как можно найти такие числа? Заметим, что
S(2(a+b+c))=S((a+b)+(a+c)+(b+c))
S(a+b)+S(a+c)+S(b+c)12 , т.е.
число n=2(a+b+c) при делении на 2 должно резко увеличивать свою сумму
цифр. Такое возможно, если в числе много единиц, тогда в частном появится
много пятерок. Возьмем, например, n=31111111110 , тогда S(n)=12 ,
а S(
)=51 . Разложим n на три слагаемых с суммой
цифр 4 и меньших :
n=11110000000+10001110000+10000001110 , а затем решим систему уравнений
a+b=11110000000 , a+c=10001110000 , b+c=10000001110 .
Ответ
Найдутся.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
1998 |
|
Этап |
|
Вариант |
5 |
|
Класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
98.5.9.3 |
