Условие
Обозначим
S(
x)
сумму цифр числа
x . Найдутся ли три таких натуральных числа
a ,
b и
c , что
S(
a+b)
<5
,
S(
a+c)
<5
и
S(
b+c)
<5
,
но
S(
a+b+c)
>50
?
Решение
Подойдут, например, числа
a=5555554445
,
b=5554445555
,
c=4445555555
.
Убедимся в этом:
S(
a+b)
=S(11110000000)
<5
,
S(
a+c)
=S(10001110000)
<5
,
S(
b+c)
=S(10000001110)
<5
,
S(
a+b+c)
=S(15555555555)
=51
>50
.
Как можно найти такие числа? Заметим, что
S(2(
a+b+c))
=S((
a+b)
+(
a+c)
+(
b+c))
S(
a+b)
+S(
a+c)
+S(
b+c)
12
, т.е.
число
n=2(
a+b+c)
при делении на 2 должно резко увеличивать свою сумму
цифр. Такое возможно, если в числе много единиц, тогда в частном появится
много пятерок. Возьмем, например,
n=31111111110
, тогда
S(
n)
=12
,
а
S(
)
=51
. Разложим
n на три слагаемых с суммой
цифр 4 и меньших
:
n=11110000000
+10001110000
+10000001110
, а затем решим систему уравнений
a+b=11110000000
,
a+c=10001110000
,
b+c=10000001110
.
Ответ
Найдутся.
Источники и прецеденты использования
|
олимпиада |
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
год |
Год |
1998 |
Этап |
Вариант |
5 |
Класс |
Класс |
9 |
задача |
Номер |
98.5.9.3 |