Задача 109680

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Задачи на движение ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Подлипский О.К.

На столе лежат пять часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовём временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?

Решение

  Отметим на одном циферблате положения часовых стрелок всех часов. Циферблат разобьётся на пять секторов. Занумеруем их по кругу (см. рис.).

  Пусть часовая стрелка проходит секторы за время x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ соответственно (некоторые из этих чисел, возможно, нулевые). Заметим, что если мы станем устанавливать на всех часах время, соответствующее положению внутри сектора, то каждая часовая стрелка пройдёт через начало сектора. Это значит, что суммарное время перевода окажется заведомо больше, чем если бы мы устанавливали все часы на начало сектора.
  Обозначим через S_i суммарное время, необходимое для установки всех часов на начало i-го сектора. Ясно, что время перевода отдельной стрелки является суммой некоторых x_j. Например, время перевода на начало первого сектора равно x₅ для пятых часов,  x₂ + x₃ + x₄ + x₅  для вторых и т.д. Итак,
S₁ = (x₂ + x₃ + x₄ + x₅) + (x₃ + x₄ + x₅) + (x₄ + x₅) + x₅ = x₂ + 2x₃ + 3x₄ + 4x₅.
  Остальные S_i выражаются аналогично. Следовательно,  S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅ = (1 + 2 + 3 + 4)(x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅) = 10·12 = 120  часов.
  Поэтому наименьшая сумма не превосходит  120 : 5 = 24  часа. С другой стороны, если все секторы одинаковы (например, часы показывают 12:00, 2:24, 4:48, 7:12 и 9:36), то все S_i равны 24 часам, поэтому менее чем 24 часами не обойтись.

Ответ

За 24 часа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	98.5.9.5