В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?

   Решение

Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся.
Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.

   Решение

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся.
Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.

Решение

  Набор натуральных чисел, удовлетворяющий условию задачи, условимся называть хорошим. Ясно, что если  (a, b, c, d)  – хороший набор, то и
 (^a/_k, ^b/_k, ^c/_k, ^d/_k)  – тоже хороший набор, где  k = НОД(a, b, c, d).  Поэтому в дальнейшем считаем, что  НОД(a, b, c, d) = 1.   (1)
  Пусть одно из данных чисел, например a, имеет нечётный простой делитель p. Тогда суммы  b + c,  c + d,  b + d и, следовательно, сами числа b, c и d делятся на p (ибо, например,  2d = (b + d) + (c + d) – (b + c)),  что противоречит условию (1). Значит, числа a, b, c, d – степени двойки. Упорядочив данные числа в порядке возрастания, получим  a = 2^m,  b = 2ⁿ,  c = 2^r, d = 2^s,  где  0 = m ≤ n ≤ r ≤ s,  r ≥ 1  (иначе  m = n = r = 0,  значит,  a = b = c).  Но тогда число  (a + c)² = (1 + 2^r)²  нечётно и не может делиться на чётное число bd. Противоречие.

Источники и прецеденты использования