ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 109689
УсловиеЧерез вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда AB·CD = AC·BD = AD·BC. РешениеПроведём плоскость, параллельную касательной плоскости, пересекающую ребра AB, AC и AD в точках B1, C1 и D1 соответственно. В плоскости ABC получим конфигурацию, изображенную на рисунке. Заметим, что ∠ABC = ∠CAM (по теореме об угле между касательной и хордой), а ∠CAM = ∠AC1B1 (как накрест лежащие при параллельных и секущей), то есть ∠ABC = ∠AC1B1. Следовательно, треугольники AB1C1 и ACB подобны, откуда B1C1 : BC = AB1 : AC = AC1 : AB.Аналогично C1D1 : CD = AC1 : AD = AD1 : AC и B1D1 : BD = AD1 : AB = AB1 : AD. Из этих равенств вытекает, что Значит, треугольник A1B1C1 – равносторонний тогда и только тогда, когда AB·CD = AC·BD = AD·BC. Осталось заметить, что углы, образуемые указанными в условии линиями пересечения, соответственно равны углам треугольника B1C1D1. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|