ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109708
Темы:    [ Деление с остатком ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке a, b, c, для которой  a + 99b = c,  нашлись два числа из одного подмножества.


Решение

Выделим в i-е множество  (1 ≤ i ≤ 99)  все чётные числа, дающие при делении на 99 остаток  i – 1,  а в сотое множество – все нечётные числа. Очевидно, что среди любых чисел a, b и c, удовлетворяющих уравнению  a + 99b = c,  чётное количество нечётных. Если среди них два нечётных, то они из сотого множества, иначе a и c из одного множества, так как они чётные и дают одинаковые остатки от деления на 99.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2000
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 00.5.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .