Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача
109723
(#00.5.9.1)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9
|
Различные числа a, b и c таковы, что уравнения x² + ax + 1 = 0 и x² + bx + c = 0 имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения x² + x + a = 0 и x² + cx + b = 0. Найдите сумму a + b + c.
Задача
109724
(#00.5.9.2)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Таня задумала натуральное число X ≤ 100, а Саша пытается
его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел M и N, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель X + M и N?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.
Задача
108145
(#00.5.9.3)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9
|
Пусть O – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника ABC. Окружность ω1 с центром K проходит через точки A, O и C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой MN. Докажите, что BL ⊥ AC.
Задача
109726
(#00.5.9.4)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.
Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.
Задача
109727
(#00.5.9.5)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
На доску последовательно выписываются числа a1 = 1, a2, a3, ... по следующим правилам: an+1 = an – 2, если число
an – 2 – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае an+1 = an + 3. Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
