ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109709
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]
[ Пятиугольники ]
[ Теорема Пика ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A1B1C1D1E1 (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.



Решение

Будем говорить "в" вместо "внутри или на границе".

Предположим противное. Рассмотрим пятиугольник минимальной площади S , для которого не выполняется утверждение задачи (так как площадь любого пятиугольника с вершинами в целых точках – число полуцелое, то такой найдется).

Покажем, что все целые точки в треугольнике AC1D1 , кроме A , лежат на C1D1 . В самом деле, если в нем есть другая целая точка K , то площадь выпуклого пятиугольника KBCDE меньше S , а внутренний пятиугольник в KBCDE лежит в пятиугольнике A1B1C1D1E1 , что, очевидно, невозможно.

Через ρ (M,PQ) будем обозначать расстояние от точки M до прямой PQ .
Выберем из треугольников ABC , BCD , CDE , DEA и EAB треугольник наименьшей площади. Пусть это Δ ABC . Тогда ρ (A,BC)ρ (D,BC) и ρ (C,AB)ρ (E,AB) .

Рассмотрим точку O такую, что ABCO – параллелограмм (очевидно, эта точка целая).
Тогда ρ (O,BC)(A,BC) и ρ (O,AB)(C,AB)ρ (B1,AB) , поэтому точка O лежит в треугольнике AB1C . Тогда из доказанного в предыдущем абзаце следует, что она лежит в пятиугольнике A1B1C1D1E1 , чего не может быть. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2000
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 00.5.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .