|
|
 |
Условие
Приведенные квадратные трёхчлены f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого
действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.
Решение 1
Будем считать, что "интервал отрицательности" функции f лежит левее интервала отрицательности функции g. Пусть графики пересекаются в точке
(x0, y0). Тогда f(x) = y0 + (x – x')(x – x0), g(x) = y0 + (x – x'')(x – x0), причём x' < x0 < x''. Поэтому можно выбрать α и β так, что (α + β)x0 = αx' + βx''. Имеем αf(x) + βg(x) = (α + β)y0 + (x – x0)((α + β)x – (αx' + βx'')) = (α + β)y0 + (α + β)(x – x0)² ≥ (α + β)y0 > 0.
Решение 2
Без ограничения общности можно считать, что f(x) < 0 при x1 < x < x2, g(x) < 0 при x3 < x < x4, где x2 < x3. Рассмотрим касательную к параболе
y = αf(x) в точке x2 и касательную к параболе y = βg(x) в точке x3. Подберём положительные α и β так, чтобы модули угловых коэффициентов этих касательных стали равными: пусть уравнение первой касательной имеет вид y = a(x – x2), а второй – y = – a(x – x3), a > 0. Парабола, ветви которой направлены вверх, лежит выше касательной. Поэтому αf(x) + βg(x) > a(x – x2) – a(x – x3) = a(x3 – x2) > 0, что и требовалось.
