ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109734
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Производная и касательная ]
[ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Приведенные квадратные трёхчлены  f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.


Решение 1

Без ограничения общности можно считать, что  f(x) < 0  при  x1 < x < x2g(x) < 0  при  x3 < x < x4,  где  x2 < x3.  Рассмотрим касательную к параболе
y = αf(x)  в точке x2 и касательную к параболе  y = βg(x)  в точке x3. Подберём положительные α и β так, чтобы модули угловых коэффициентов этих касательных стали равными: пусть уравнение первой касательной имеет вид  y = a(x – x2),  а второй –  y = – a(x – x3),  a > 0.  Парабола, ветви которой направлены вверх, лежит выше касательной. Поэтому  αf(x) + βg(x) > a(x – x2) – a(x – x3) = a(x3x2) > 0,  что и требовалось.


Решение 2

Будем считать, что "интервал отрицательности" функции  f лежит левее интервала отрицательности функции g. Пусть графики пересекаются в точке
(x0, y0).  Тогда  f(x) = y0 + (x – x')(x – x0),  g(x) = y0 + (x – x'')(x – x0),  причём  x' < x0 < x''.  Поэтому можно выбрать α и β так, что  (α + β)x0 = αx' + βx''.  Имеем  αf(x) + βg(x) = (α + β)y0 + (x – x0)((α + β)x – (αx' + βx'')) = (α + β)y0 + (α + β)(x – x0)² ≥ (α + β)y0 > 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 01.5.11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .